3. Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту.

Решение:

Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами \( a = 6 \) см и \( b = 8 \) см. Каждое боковое ребро \( l = 13 \) см.

1. Найдём диагональ основания \( d \) прямоугольника: \( d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см.
2. Радиус окружности, описанной около основания (около прямоугольника), равен половине диагонали: \( R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.
3. Высота пирамиды \( H \) находится из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром \( l \), радиусом описанной окружности \( R \) и высотой \( H \). По теореме Пифагора: \( H = \sqrt{l^2 - R^2} \).
4. Подставим значения: \( H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \) см.

Ответ: Высота пирамиды равна 12 см.