2. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 1 дм и 4 дм. Боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

Это задача на нахождение высоты усеченной правильной треугольной пирамиды. Основания — правильные треугольники. Сторона большего основания \( a_1 = 4 \) дм, сторона меньшего основания \( a_2 = 1 \) дм. Боковое ребро \( l = 2 \) дм.

1. Найдём апофему (высоту боковой грани) \( h_a \). В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, апофемой и разностью радиусов вписанных окружностей оснований, апофема будет катетом.
2. Радиус вписанной окружности правильного треугольника: \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
3. Для большего основания: \( r_1 = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \) дм.
4. Для меньшего основания: \( r_2 = \frac{1}{2\sqrt{3}} \) дм.
5. Разность радиусов: \( \Delta r = r_1 - r_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{4 - 1}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) дм.
6. Найдём апофему \( h_a \) из прямоугольного треугольника, где гипотенуза — боковое ребро \( l \), один катет — разность радиусов вписанных окружностей \( \Delta r \), другой катет — апофема \( h_a \).
7. \( h_a = \sqrt{l^2 - (\Delta r)^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{16-3}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} \) дм.
8. Найдём высоту пирамиды \( H \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой \( h_a \) и разностью радиусов описанных окружностей оснований, разность радиусов описанных окружностей также равна \( \Delta R = R_1 - R_2 \).
9. Радиус описанной окружности правильного треугольника: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
10. Для большего основания: \( R_1 = \frac{4}{\sqrt{3}} \) дм.
11. Для меньшего основания: \( R_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \) дм.
12. Разность радиусов описанных окружностей: \( \Delta R = R_1 - R_2 = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \) дм.
13. Найдём высоту \( H \) по теореме Пифагора: \( H = \sqrt{h_a^2 - (\Delta R)^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{13}}{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{13}{4} - 3} = \sqrt{\frac{13 - 12}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \) дм.

Ответ: Высота пирамиды равна 0,5 дм.