2. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 1 дм и 4 дм. Боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

1. Основания правильной усеченной треугольной пирамиды - равносторонние треугольники.
2. Найдем апофему боковой грани. Рассмотрим боковую грань - равнобедренную трапецию. Высота этой трапеции (апофема пирамиды) \( k \).
3. Проведем высоту \( k \) в трапеции. Основания трапеции \( a_1 = 1 \) дм, \( a_2 = 4 \) дм. Опустим перпендикуляр из вершины меньшего основания на большее. Отрезок, который получится на большем основании, равен \( \frac{a_2 - a_1}{2} = \frac{4-1}{2} = 1.5 \) дм.
4. Боковое ребро \( l = 2 \) дм. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой \( k \), боковым ребром \( l \) и отрезком \( \frac{a_2 - a_1}{2} \): \( k = \sqrt{l^2 - (\frac{a_2 - a_1}{2})^2} = \sqrt{2^2 - 1.5^2} = \sqrt{4 - 2.25} = \sqrt{1.75} = \frac{\sqrt{7}}{2} \) дм.
5. Найдем высоту пирамиды \( h \). Апофема \( k \) равна \( \frac{\sqrt{7}}{2} \) дм.
6. Площадь основания \( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \) дм².
7. Площадь основания \( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = 4\sqrt{3} \) дм².
8. Высота пирамиды \( h = \sqrt{l^2 - R^2} \), где \( R \) - радиус окружности, в которую вписана трапеция.
9. Высота пирамиды \( h \) не может быть вычислена только по этим данным. Необходимо уточнение: \( a_1 \) и \( a_2 \) - стороны оснований, а не радиусы.
10. Проверим условие: стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды - это стороны равносторонних треугольников.
11. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник со стороной \( a \) равен \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
12. Радиус вписанной окружности в большее основание: \( r_2 = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \) дм.
13. Радиус вписанной окружности в меньшее основание: \( r_1 = \frac{1}{2\sqrt{3}} \) дм.
14. Найдем высоту \( h \) по формуле высоты усеченной пирамиды: \( h = \sqrt{l^2 - (r_2 - r_1)^2} \).
15. \( h = \sqrt{2^2 - (\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (\frac{4 - 1}{2\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (\frac{3}{2\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{16-3}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} \) дм.

Ответ: Высота пирамиды равна $$\frac{\sqrt{13}}{2}$$ дм.