5. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм². Найдите радиус цилиндра.

Решение:

1. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, есть прямоугольник.
2. Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра \( h = 10 \) дм.
3. Площадь сечения \( S_{сеч} = 240 \) дм².
4. Длина стороны сечения, перпендикулярной оси цилиндра, равна \( l = \frac{S_{сеч}}{h} = \frac{240}{10} = 24 \) дм.
5. Эта сторона сечения равна хорде основания цилиндра.
6. Плоскость удалена от оси на \( d = 9 \) дм.
7. Радиус цилиндра \( R \) связан с длиной хорды \( l \) и расстоянием от оси \( d \) соотношением: \( R^2 = d^2 + (\frac{l}{2})^2 \).
8. \( R^2 = 9^2 + (\frac{24}{2})^2 = 81 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \).
9. \( R = \sqrt{225} = 15 \) дм.

Ответ: Радиус цилиндра равен 15 дм.