5. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм². Найдите радиус цилиндра.

Решение:

Высота цилиндра \( H = 10 \) дм. Площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра, равна \( S_{сеч} = 240 \) дм². Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения \( d = 9 \) дм.

1. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть прямоугольник. Площадь этого прямоугольника равна произведению высоты цилиндра на длину хорды основания, соответствующей этому сечению.
2. Обозначим радиус цилиндра через \( R \). Длина хорды \( a \) в основании цилиндра, отстоящей от центра на расстояние \( d \), находится из прямоугольного треугольника: \( R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2 \).
3. Из условия \( S_{сеч} = a \cdot H \).
4. Подставим известные значения: \( 240 = a \cdot 10 \).
5. Найдём длину хорды \( a \): \( a = \frac{240}{10} = 24 \) дм.
6. Теперь найдём радиус \( R \), используя формулу из пункта 2: \( R^2 = 9^2 + (\frac{24}{2})^2 = 81 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \).
7. \( R = \sqrt{225} = 15 \) дм.

Ответ: Радиус цилиндра равен 15 дм.