10. Составьте уравнения касательных к графику функции y = x² - 4x + 3, проходящих через точку М(2; -5).

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции: f'(x) = 2x - 4.
2. Пусть точка касания имеет абсциссу x₀. Тогда ордината этой точки f(x₀) = x₀² - 4x₀ + 3.
3. Уравнение касательной в точке x₀: y - (x₀² - 4x₀ + 3) = (2x₀ - 4)(x - x₀).
4. Точка М(2; -5) лежит на касательной, поэтому подставим ее координаты в уравнение касательной:
5. -5 - (x₀² - 4x₀ + 3) = (2x₀ - 4)(2 - x₀).
6. -5 - x₀² + 4x₀ - 3 = 4x₀ - 2x₀² - 8 + 4x₀.
7. -x₀² + 4x₀ - 8 = -2x₀² + 8x₀ - 8.
8. Перенесем все члены в левую часть:
9. -x₀² + 2x₀² + 4x₀ - 8x₀ - 8 + 8 = 0.
10. x₀² - 4x₀ = 0.
11. Вынесем x₀ за скобки: x₀(x₀ - 4) = 0.
12. Получаем две точки касания: x₀ = 0 и x₀ = 4.
13. Теперь найдем уравнения касательных для каждой точки касания:
14. Случай 1: x₀ = 0
15. f(0) = 0² - 4(0) + 3 = 3.
16. f'(0) = 2(0) - 4 = -4.
17. Уравнение касательной: y - 3 = -4(x - 0) => y - 3 = -4x => y = -4x + 3.
18. Случай 2: x₀ = 4
19. f(4) = 4² - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3.
20. f'(4) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4.
21. Уравнение касательной: y - 3 = 4(x - 4) => y - 3 = 4x - 16 => y = 4x - 13.

Ответ: y = -4x + 3 и y = 4x - 13