8. Найдите наименьшее значение функции f(x) = x/8 + 2/x на отрезке [1; 6].

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции:
2. f(x) = (1/8)x + 2x⁻¹
3. f'(x) = 1/8 - 2x⁻² = 1/8 - 2/x².
4. Приравняем производную к нулю:
5. 1/8 - 2/x² = 0.
6. 1/8 = 2/x².
7. x² = 16.
8. x = ±4.
9. Из этих двух значений только x = 4 принадлежит отрезку [1; 6].
10. Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке:
11. f(1) = 1/8 + 2/1 = 0.125 + 2 = 2.125.
12. f(6) = 6/8 + 2/6 = 3/4 + 1/3 = 9/12 + 4/12 = 13/12 ≈ 1.083.
13. f(4) = 4/8 + 2/4 = 1/2 + 1/2 = 1.
14. Сравним полученные значения: 2.125, 1.083, 1.
15. Наименьшее значение равно 1.

Ответ: 1