9. Исследуйте функцию f(x) = -x⁴ + 4x³ + 1 и постройте ее график.

Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел, D(f) = (-∞; +∞).

Точки пересечения с осями:

• С осью Oy: При x = 0, f(0) = -0⁴ + 4(0)³ + 1 = 1. Точка (0, 1).
• С осью Ox: f(x) = 0 => -x⁴ + 4x³ + 1 = 0. Это уравнение сложно решить аналитически.

Первая производная и интервалы монотонности:

• f'(x) = -4x³ + 12x² = -4x²(x - 3).
• Критические точки: f'(x) = 0 => -4x²(x - 3) = 0. x₁ = 0, x₂ = 3.
• Интервалы:
• (-∞, 0): Возьмем x = -1. f'(-1) = -4(-1)²(-1 - 3) = -4(1)(-4) = 16 > 0 (возрастает).
• (0, 3): Возьмем x = 1. f'(1) = -4(1)²(1 - 3) = -4(1)(-2) = 8 > 0 (возрастает).
• (3, +∞): Возьмем x = 4. f'(4) = -4(4)²(4 - 3) = -4(16)(1) = -64 < 0 (убывает).
• Вывод: Функция возрастает на (-∞, 3] и убывает на [3, +∞).

Точки экстремума:

• В точке x = 3 функция имеет максимум, так как производная меняет знак с '+' на '-'.
• f(3) = -(3)⁴ + 4(3)³ + 1 = -81 + 4(27) + 1 = -81 + 108 + 1 = 28.
• Точка максимума: (3, 28).
• В точке x = 0 производная равна нулю, но знак не меняется, поэтому это точка перегиба (горизонтальная касательная).

Вторая производная и точки перегиба:

• f''(x) = -12x² + 24x = -12x(x - 2).
• Точки перегиба: f''(x) = 0 => -12x(x - 2) = 0. x₃ = 0, x₄ = 2.
• Интервалы выпуклости:
• (-∞, 0): Возьмем x = -1. f''(-1) = -12(-1)² + 24(-1) = -12 - 24 = -36 < 0 (функция выпукла вверх).
• (0, 2): Возьмем x = 1. f''(1) = -12(1)² + 24(1) = -12 + 24 = 12 > 0 (функция выпукла вниз).
• (2, +∞): Возьмем x = 3. f''(3) = -12(3)² + 24(3) = -108 + 72 = -36 < 0 (функция выпукла вверх).
• Вывод: Точки перегиба: x = 0 и x = 2.
• f(0) = 1. Точка (0, 1).
• f(2) = -(2)⁴ + 4(2)³ + 1 = -16 + 4(8) + 1 = -16 + 32 + 1 = 17. Точка (2, 17).

Асимптоты:

Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как функция определена на всей действительной оси и является многочленом. Наклонные асимптоты также отсутствуют.

График функции: