7. Две точки движутся по законам x₁(t) = 3t² - t + 9 и x₂(t) = 2t² + 4t + 5 (x — в метрах, t — в секундах). Найдите скорости движения точек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны.

Пошаговое решение:

1. Найдем скорости точек, взяв производные от их координат:
2. v₁(t) = x₁'(t) = d/dt (3t² - t + 9) = 6t - 1.
3. v₂(t) = x₂'(t) = d/dt (2t² + 4t + 5) = 4t + 4.
4. Приравняем пройденные расстояния, чтобы найти моменты времени, когда они равны:
5. x₁(t) = x₂(t)
6. 3t² - t + 9 = 2t² + 4t + 5.
7. Перенесем все члены в одну сторону:
8. 3t² - 2t² - t - 4t + 9 - 5 = 0.
9. t² - 5t + 4 = 0.
10. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант: D = b² - 4ac = (-5)² - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9.
11. Найдем корни:
12. t₁ = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4.
13. t₂ = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1.
14. Теперь найдем скорости в эти моменты времени:
15. При t = 4:
16. v₁(4) = 6(4) - 1 = 24 - 1 = 23 м/с.
17. v₂(4) = 4(4) + 4 = 16 + 4 = 20 м/с.
18. При t = 1:
19. v₁(1) = 6(1) - 1 = 6 - 1 = 5 м/с.
20. v₂(1) = 4(1) + 4 = 4 + 4 = 8 м/с.

Ответ: В момент t=1 с, скорости равны 5 м/с и 8 м/с. В момент t=4 с, скорости равны 23 м/с и 20 м/с.