10. $\sqrt{x^2-5x+4} < 2$

Question

Вопрос: $Фото задания: 10. $\sqrt{x^2-5x+4} < 2$$ Фото задания

Accepted Answer

Решим неравенство $\sqrt{x^2-5x+4} < 2$, учитывая условия:

Выражение под корнем неотрицательно: $x^2-5x+4 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2-5x+4=0$: $D = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 4 = 25-16=9$, $x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2}$, $x_1 = 4, x_2 = 1$. Таким образом, $x^2-5x+4 \ge 0$ при $x \le 1$ или $x \ge 4$.
Возведём обе части в квадрат: $x^2-5x+4 < 2^2$ → $x^2-5x+4 < 4$ → $x^2-5x < 0$ → $x(x-5) < 0$. Это выполняется при $0 < x < 5$.

Объединяя условия $(x \le 1$ или $x \ge 4$) и $0 < x < 5$, получаем:

$0 < x \le 1$ или $4 < x < 5$.

Ответ: $(0, 1] \cup (4, 5)$.

10. \(\sqrt{x^2-5x+4} < 2\)