4. \(\sqrt{x+1} \ge \frac{2}{3}\)

Решение:

Решим неравенство \(\sqrt{x+1} \ge \frac{2}{3}\), учитывая условия:

1. Выражение под корнем неотрицательно: \(x+1 \ge 0\) → \(x \ge -1\).
2. Возведём обе части в квадрат: \(x+1 \ge (\frac{2}{3})^2\) → \(x+1 \ge \frac{4}{9}\) → \(x \ge \frac{4}{9} - 1\) → \(x \ge \frac{4-9}{9}\) → \(x \ge -\frac{5}{9}\).

Объединяя условия \(x \ge -1\) и \(x \ge -\frac{5}{9}\), получаем:

\(x \ge -\frac{5}{9}\).

Ответ: \([-\frac{5}{9}, +\infty)\).