10. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 14,5. Найдите AC, если BC = 21.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. Следовательно, \( AB \) — диаметр.

\( AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 14.5 = 29 \).

Так как \( AB \) — диаметр, то угол \( \angle ACB \), опирающийся на диаметр, является прямым. \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

\( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник с гипотенузой \( AB \).

По теореме Пифагора:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

Подставим известные значения:

\( AC^2 + 21^2 = 29^2 \)

\( AC^2 + 441 = 841 \)

\( AC^2 = 841 - 441 \)

\( AC^2 = 400 \)

\( AC = \sqrt{400} \)

\( AC = 20 \).

Ответ: 20