6. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 86°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть точки касания — \( A \) и \( B \). Касательные \( AC \) и \( BC \) пересекаются в точке \( C \) под углом \( \angle ACB = 86^{\circ} \). Центр окружности — \( O \).

Рассмотрим четырёхугольник \( OACB \).

Радиусы \( OA \) и \( OB \) перпендикулярны касательным в точках касания: \( \angle OAC = 90^{\circ} \) и \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

\( \angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 86^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 266^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 266^{\circ} = 94^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle OAB \). \( OA = OB \) (радиусы окружности), значит, \( \triangle OAB \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).

Сумма углов \( \triangle OAB \) равна 180°.

\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 94^{\circ} + 2 \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle OBA = 180^{\circ} - 94^{\circ} \)

\( 2 \angle OBA = 86^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{86^{\circ}}{2} = 43^{\circ} \).

Угол \( ABO \) — это и есть \( \angle OBA \).

Ответ: 43