8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Сумма углов треугольника равна 180°. Если один острый угол равен 45°, то второй острый угол равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Значит, треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Катеты, противолежащие равным углам, равны. Обозначим катеты как \( a \).

По теореме Пифагора:

\( a^2 + a^2 = 70^2 \)

\( 2a^2 = 4900 \)

\( a^2 = \frac{4900}{2} \)

\( a^2 = 2450 \)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} a^2 \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 2450 \)

\( S = 1225 \).

Ответ: 1225