4. В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 94. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

Решение:

\( M \) — середина \( BC \), \( N \) — середина \( AC \). Следовательно, \( MN \) — средняя линия \( \triangle ABC \).

По теореме о средней линии, \( MN \parallel AB \) и \( MN = \frac{1}{2} AB \).

\( \triangle CNM \) подобен \( \triangle CBA \) по двум углам (угол \( C \) общий, \( \angle CNM = \angle CAB \) как соответственные при \( MN \parallel AB \) и секущей \( AC \)).

Коэффициент подобия \( k = \frac{CN}{CA} = \frac{CM}{CB} = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\( \frac{S_{CNM}}{S_{CBA}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).

Значит, \( S_{CBA} = 4 \cdot S_{CNM} \).

Дано, что \( S_{CNM} = 94 \).

\( S_{CBA} = 4 \cdot 94 = 376 \).

Площадь четырехугольника \( ABMN \) равна разности площади \( \triangle ABC \) и площади \( \triangle CNM \).

\( S_{ABMN} = S_{CBA} - S_{CNM} \)

\( S_{ABMN} = 376 - 94 \)

\( S_{ABMN} = 282 \).

Ответ: 282