2. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB, \(\angle ACD = 47^{\circ}\). Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( AB = a \). Тогда \( AC = 2a \). В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \( AB = CD = a \) и \( BC = AD \).

Рассмотрим \( \triangle ACD \). По теореме синусов:

\( \frac{CD}{\sin \angle CAD} = \frac{AC}{\sin \angle ADC} \)

\( \frac{a}{\sin \angle CAD} = \frac{2a}{\sin \angle ADC} \)

\( \sin \angle ADC = 2 \sin \angle CAD \)

В параллелограмме \( \angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^{\circ} \) (сумма углов треугольника).

\( \angle ADC + 47^{\circ} + \angle CAD = 180^{\circ} \)

\( \angle ADC = 133^{\circ} - \angle CAD \)

Подставим \( \angle ADC \) в уравнение с синусами:

\( \sin(133^{\circ} - \angle CAD) = 2 \sin \angle CAD \)

Это уравнение сложно решить без дополнительных данных или приближенных методов. Проверим условие задачи. Возможно, есть более простой геометрический подход или ошибка в условии.

Если предположить, что \( \angle CAD \) — это тот угол, который позволит решить задачу, например, если \( \triangle ABC \) равнобедренный или прямоугольный, но это не указано.

Переформулируем задачу: дана диагональ \( AC \) и \( \angle ACD = 47^{\circ} \). \( AC = 2 AB \). Найти меньший угол между диагоналями. Обозначим точку пересечения диагоналей как \( O \). Нам нужно найти \( \angle AOD \) или \( \angle DOC \).

В \( \triangle OCD \) имеем \( CD = AB \) и \( OC = \frac{1}{2} AC \).

Если \( AB = a \) и \( AC = 2a \), то \( CD = a \) и \( OC = a \). Значит, \( \triangle OCD \) — равнобедренный.

В равнобедренном \( \triangle OCD \), \( \angle ODC = \angle OCD = 47^{\circ} \).

Тогда \( \angle DOC = 180^{\circ} - (47^{\circ} + 47^{\circ}) = 180^{\circ} - 94^{\circ} = 86^{\circ} \).

\( \angle DOC \) — один из углов между диагоналями. Второй угол — смежный с ним. \( 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ} \).

Меньший угол между диагоналями — \( 86^{\circ} \).

Ответ: 86