9. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 72, BC = 3. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Решение:

\( AB = AC + CB = 72 + 3 = 75 \).

Окружность с центром \( A \) проходит через точку \( C \). Радиус этой окружности равен \( AC = 72 \).

\( B \) — точка вне окружности. \( AB = 75 \).

Пусть \( BT \) — касательная к окружности, проведенная из точки \( B \) к окружности в точке \( T \).

Радиус \( AT \) перпендикулярен касательной \( BT \) в точке касания \( T \).

\( \angle ATB = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ATB \):

\( AB^2 = AT^2 + BT^2 \)

Мы знаем \( AB = 75 \) и \( AT = AC = 72 \) (радиус окружности).

\( 75^2 = 72^2 + BT^2 \)

\( 5625 = 5184 + BT^2 \)

\( BT^2 = 5625 - 5184 \)

\( BT^2 = 441 \)

\( BT = \sqrt{441} \)

\( BT = 21 \).

Ответ: 21