10.) В ДАВС АВ = BC, BE — медиана треугольника АВС, Угол АВЕ =41°. Найдите углы АВС и СЕВ.

Решение:

Дано:

\( △ ›{ABC} \)

\( AB = BC \)

BE — медиана.

\( ∠ ›{ABE} = 41^\circ \)

Найти: \( ∠ ›{ABC} \), \( ∠ ›{CEB} \)

Решение:

Так как \( △ ›{ABC} \) — равнобедренный с \( AB = BC \), а BE — медиана, то BE также является биссектрисой и высотой.

Следовательно, BE делит угол ABC пополам.

\( ∠ ›{ABC} = 2 · ∠ ›{ABE} = 2 · 41^\circ = 82^\circ \).

Так как BE — высота, то \( ∥ ›{BE C} = 90^\circ \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ ›{BEC} \). Сумма углов в нем равна \( 180^\circ \).

\( ∠ ›{BCE} + ∠ ›{CEB} + ∥ ›{BEC} = 180^\circ \)

\( ∠ ›{BCE} + ∠ ›{CEB} + 90^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ ›{BCE} + ∠ ›{CEB} = 90^\circ \)

Угол \( ∠ ›{BCE} \) равен углу \( ∠ ›{BCA} \). В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны.

\( ∠ ›{BAC} = ∠ ›{BCA} \).

\( ∠ ›{BAC} + ∠ ›{BCA} + ∠ ›{ABC} = 180^\circ \)

\( 2 ∠ ›{BCA} + 82^\circ = 180^\circ \)

\( 2 ∠ ›{BCA} = 180^\circ - 82^\circ \)

\( 2 ∠ ›{BCA} = 98^\circ \)

\( ∠ ›{BCA} = 49^\circ \)

Теперь найдем \( ∠ ›{CEB} \):

\( 49^\circ + ∠ ›{CEB} = 90^\circ \)

\( ∠ ›{CEB} = 90^\circ - 49^\circ \)

\( ∠ ›{CEB} = 41^\circ \)

Ответ: Угол ABC равен 82°, угол CEB равен 41°.