8.) Прямая ВК перпендикулярна прямым МВ и КТ. Докажите, что треугольники МВО и ОКТ равны. Найдите углы ОМВ, ВОМ, ОТК, если известно, что МВ=КТ, а угол ТОК=40°. (Обязательно доказательство равенства треугольников)

Решение:

Дано:

\( ∥ ›{MBO} = ∥ ›{OKT} = 90^\circ \)

\( MB = KT \)

\( ∠ ›{TOK} = 40^\circ \)

Доказать: \( △ ›{MBO} = △ ›{OKT} \)

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( △ ›{MBO} \) и \( △ ›{OKT} \).

1. \( MB = KT \) (по условию).

2. \( ∥ ›{MBO} = ∥ ›{OKT} = 90^\circ \) (по условию).

3. \( ∠ ›{M O B} = ∠ ›{T O K} \) (как вертикальные углы).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), \( △ ›{MBO} = △ ›{OKT} \).

Нахождение углов:

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны:

\( ∠ ›{OMB} = ∠ ›{OTK} \)

\( ∠ ›{MOB} = ∠ ›{TOK} = 40^\circ \)

Рассмотрим \( △ ›{MBO} \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).

\( ∠ ›{OMB} + ∠ ›{MBO} + ∠ ›{MOB} = 180^\circ \)

\( ∠ ›{OMB} + 90^\circ + 40^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ ›{OMB} = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \)

Так как \( ∠ ›{OMB} = ∠ ›{OTK} \), то \( ∠ ›{OTK} = 50^\circ \).

Угол \( ∠ ›{BOM} \) равен \( 40^\circ \) (как вертикальный с \( ›{TOK} \)).

Ответ: Углы ОМВ = 50°, ВОМ = 40°, ОТК = 50°.