8.) Прямая ВК перпендикулярна прямым МВ и КТ. Докажите, что треугольники МВО и ОКТ равны. Найдите углы ОМВ, ВОМ, ОТК, если известно, что МВ=КТ, а угол ТОК=40°. (Обязательно доказательство равенства треугольников)

Доказательство равенства треугольников МВО и ОКТ:

1. Дано:

• \( ⊥ \) ВК и \( ⊥ \) МВ, \( ⊥ \) КТ — прямые углы.
• \( MB = KT \)
• \( ∠ TOK = 40^\circ \)

2. Доказать:

• \( △ MBO = △ OKT \)

3. Доказательство:

• \( ∠ MBO = ∠ KTO = 90^\circ \) (по условию, так как ВК перпендикулярна МВ и КТ).
• \( ∠ MOB = ∠ KOT \) (как вертикальные углы).
• \( MB = KT \) (по условию).
• Следовательно, \( △ MBO = △ OKT \) по второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум углам и стороне между ними).

Нахождение углов:

1. Угол \( ∠ BOM \):

• В \( △ MBO \) сумма углов равна \( 180^\circ \).
• \( ∠ BOM + ∠ MBO + ∠ OMB = 180^\circ \)
• \( ∠ BOM + 90^\circ + ∠ OMB = 180^\circ \)

2. Угол \( ∠ OTK \):

• В \( △ OKT \) сумма углов равна \( 180^\circ \).
• \( ∠ OTK + ∠ OKT + ∠ TOK = 180^\circ \)
• \( ∠ OTK + 90^\circ + 40^\circ = 180^\circ \)
• \( ∠ OTK = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \)

3. Угол \( ∠ OMB \):

• Так как \( △ MBO = △ OKT \), то соответствующие углы равны.
• \( ∠ OMB = ∠ OTK \)
• \( ∠ OMB = 50^\circ \)

4. Угол \( ∠ BOM \) (найдём из \( △ MBO \) или как смежный с \( ∠ TOK \)):

• \( ∠ BOM + 90^\circ + 50^\circ = 180^\circ \)
• \( ∠ BOM = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \)

Ответ: Треугольники МВО и ОКТ равны. Углы: \( ∠ OMB = 50^\circ \), \( ∠ BOM = 40^\circ \), \( ∠ OTK = 50^\circ \).