10. В правильной треугольной пирамиде DABC отрезок DO — высота. Разложите вектор \(\overrightarrow{DO}\) по векторам \(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{DC}\).

Точка O — центр равностороннего треугольника ABC. Векторы от D к вершинам основания симметричны относительно оси DO; их горизонтальные составляющие взаимно компенсируются, а вертикальные составляющие одинаковы. Поэтому \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DO}\).

Ответ: \(\overrightarrow{DO}=\frac13(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})\).