8. ABCDA₁B₁C₁D₁ — параллелепипед, D₁C пересекает C₁D в точке M. Выразите вектор \(\overrightarrow{A_1M}\) через векторы \(\overrightarrow{AD_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Введём начало координат в A и обозначим \(\overrightarrow{AB}=u\), \(\overrightarrow{AD}=v\), \(\overrightarrow{AA_1}=w\). Тогда \(D_1=v+w\), \(C=u+v\), \(C_1=u+v+w\). Точка M — пересечение диагоналей параллелограмма D₁CC₁D, поэтому \(M=\frac12(D_1+C_1)=\frac12u+v+w\).

Следовательно, \(\overrightarrow{A_1M}=M-w=\frac12u+v\). Пусть \(\overrightarrow{A_1M}=\alpha\overrightarrow{AD_1}+\beta\overrightarrow{AC}=\alpha(v+w)+\beta(u+v)\). Сравнение коэффициентов даёт \(\beta=\frac12\), \(\alpha=0\), но тогда коэффициент при v равен \(\frac12\), а должен быть 1. Значит, исходная пара векторов не позволяет представить \(\overrightarrow{A_1M}\) таким образом: их комбинация имеет равные коэффициенты при u и w, тогда как искомый вектор не имеет компоненты w относительно A.

При внимательном рассмотрении рисунка условие обозначает пересечение D₁C и C₁D; эти прямые являются диагоналями грани D₁CC₁D и действительно пересекаются в её центре. Тогда точка M имеет координаты \(\frac12u+v+\frac12w\), а \(\overrightarrow{A_1M}=\frac12u+v-\frac12w\). Коэффициенты у \(\overrightarrow{AD_1}=v+w\) и \(\overrightarrow{AC}=u+v\) требуют \(\beta=\frac12\), \(\alpha=-\frac12\); коэффициент при v тогда равен 0, а не 1. Поэтому требуемого представления с указанными двумя векторами в общем случае нет.

Для записи вектора через заданные два вектора необходимы дополнительные отношения между рёбрами или иное уточнение обозначений.