7. ABCDA₁B₁C₁D₁ — параллелепипед. Найдите \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB_1}\).

В параллелепипеде \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\), а \(\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1}\). Поэтому

\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}\).

Сумма последних двух векторов равна \(\overrightarrow{BB_1}\)? Проверим через координатное представление: положим \(\overrightarrow{AB}=u,\overrightarrow{AD}=v,\overrightarrow{AA_1}=w\). Тогда \(\overrightarrow{BA}=-u\), \(\overrightarrow{BC}=v\), \(\overrightarrow{BB_1}=w\), и сумма равна \(-u+v+w\). Это совпадает с \(\overrightarrow{BD_1}\).

Ответ: \(\overrightarrow{BD_1}\).