10.В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН - высота. Известно, что АС=84 и ВС=ВМ. Найдите АН.

Пошаговое решение:

1. В треугольнике ABC, BM — медиана, значит, AM = MC = AC / 2.
2. AC = 84 см, следовательно, MC = 84 / 2 = 42 см.
3. BH — высота, значит, BH ⊥ AC.
4. Дано: BC = BM. Это означает, что треугольник BCM является равнобедренным с основанием CM.
5. В равнобедренном треугольнике BCM, углы при основании равны: угол BCM = угол BMC.
6. Угол BCM — это угол C треугольника ABC.
7. Рассмотрим треугольник BHC. Это прямоугольный треугольник, так как BH — высота.
8. В треугольнике BHC: угол BHC = 90°.
9. Рассмотрим треугольник BMC. Мы знаем, что MC = 42 см.
10. В равнобедренном треугольнике BCM, медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Однако, BM является медианой всего треугольника ABC, а не только BCM.
11. Так как BC = BM, треугольник BCM равнобедренный. Это значит, что угол BCM = угол BMC.
12. Угол BCM — это угол C треугольника ABC.
13. В треугольнике BHC, угол C + угол HBC = 90°.
14. В треугольнике ABH, угол A + угол ABH = 90°.
15. Вернемся к тому, что BC = BM. Это означает, что треугольник BCM равнобедренный, и угол C = угол BMC.
16. Угол BMC и угол BMA являются смежными, их сумма равна 180°.
17. Так как BM — медиана, то AM = MC = 42 см.
18. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. У нас есть BC и угол C.
19. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.
20. Из равенства BC = BM, следует, что треугольник BCM равнобедренный. Угол C = угол BMC.
21. Так как BH - высота, то треугольник BHC прямоугольный.
22. Угол BCM - это угол C.
23. В треугольнике BMC, углы при основании CM равны. Значит, угол BCM = угол BMC.
24. Так как BM - медиана, то MC = AC/2 = 84/2 = 42.
25. В прямоугольном треугольнике BHC, BC - гипотенуза.
26. BH = BC * sin(C)
27. HC = BC * cos(C)
28. Поскольку BC = BM, и MC = 42.
29. В равнобедренном треугольнике BCM, угол C = угол BMC.
30. Сумма углов в треугольнике BCM = угол C + угол BMC + угол CBM = 180°.
31. 2 * угол C + угол CBM = 180°.
32. Рассмотрим треугольник ABH. AH = AB * cos(A).
33. Чтобы найти AH, нам нужно найти AB.
34. Рассмотрим треугольник BHC. BH = BC * sin(C). HC = BC * cos(C).
35. Угол C = угол BCM.
36. Так как BC = BM, и MC = 42.
37. Из условия BC = BM, следует, что точка M лежит на окружности с центром B и радиусом BC.
38. Точка C лежит на этой окружности.
39. Угол BMC = угол BCM = угол C.
40. В треугольнике ABC: A + B + C = 180.
41. В прямоугольном треугольнике BHC: BH = BC sin(C), HC = BC cos(C).
42. В треугольнике ABH: AH = AB cos(A).
43. В треугольнике ABC: A + B + C = 180. B = 180 - A - C.
44. Рассмотрим треугольник BCM. Он равнобедренный, BC = BM. Угол C = угол BMC.
45. Угол AMB = 180 - угол BMC = 180 - угол C.
46. В треугольнике ABM: AB, AM = 42, BM = BC. Угол AMB = 180 - C.
47. По теореме косинусов для треугольника ABM: AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 * AM * BM * cos(180 - C).
48. AB^2 = 42^2 + BC^2 - 2 * 42 * BC * (-cos(C)).
49. AB^2 = 1764 + BC^2 + 84 * BC * cos(C).
50. В прямоугольном треугольнике BHC: AC = AH + HC = 84. HC = BC * cos(C).
51. AB^2 = AC^2 - BC^2 (из прямоугольного треугольника ABC: AB^2 + BC^2 = AC^2) - это неверно. AB^2 + BC^2 = AC^2 если угол B = 90.
52. В прямоугольном треугольнике ABC: AB^2 + BC^2 = AC^2. Это неверно, AC - это сторона, а не гипотенуза. Гипотенуза - AB, если угол C = 90. Но в условии угол C - не 90.
53. Пусть угол C = $$\gamma$$.
54. В треугольнике BHC (прямоугольный): HC = BC cos($$\gamma$$).
55. В треугольнике ABH (прямоугольный): AH = AB cos(A).
56. AB^2 = AH^2 + BH^2. BC^2 = HC^2 + BH^2.
57. BH^2 = BC^2 - HC^2 = BC^2 - (BC cos($$\gamma$$))^2 = BC^2 (1 - cos^2($$\gamma$$)) = BC^2 sin^2($$\gamma$$).
58. BH = BC sin($$\gamma$$).
59. AB^2 = AH^2 + BC^2 sin^2($$\gamma$$).
60. AB^2 = (AC - HC)^2 + BC^2 sin^2($$\gamma$$) = (84 - BC cos($$\gamma$$))^2 + BC^2 sin^2($$\gamma$$).
61. AB^2 = 84^2 - 2 * 84 * BC cos($$\gamma$$) + BC^2 cos^2($$\gamma$$) + BC^2 sin^2($$\gamma$$) = 7056 - 168 BC cos($$\gamma$$) + BC^2.
62. Из условия BC = BM. M - середина AC. MC = 42.
63. Рассмотрим треугольник BCM. BC = BM, MC = 42.
64. Угол C = угол BMC.
65. Угол AMB = 180° - угол BMC = 180° - угол C.
66. В треугольнике ABM: AM = 42, BM = BC.
67. По теореме косинусов для треугольника ABM:
68. AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 * AM * BM * cos(угол AMB).
69. AB^2 = 42^2 + BC^2 - 2 * 42 * BC * cos(180° - C).
70. AB^2 = 1764 + BC^2 - 84 * BC * (-cos(C)).
71. AB^2 = 1764 + BC^2 + 84 * BC * cos(C).
72. Мы имеем два выражения для AB^2:
73. 1) AB^2 = 7056 - 168 BC cos(C) + BC^2
74. 2) AB^2 = 1764 + BC^2 + 84 BC cos(C)
75. Приравниваем:
76. 7056 - 168 BC cos(C) + BC^2 = 1764 + BC^2 + 84 BC cos(C).
77. 7056 - 1764 = 168 BC cos(C) + 84 BC cos(C).
78. 5292 = 252 BC cos(C).
79. BC cos(C) = 5292 / 252 = 21.
80. Мы знаем, что HC = BC cos(C).
81. Следовательно, HC = 21 см.
82. AC = AH + HC.
83. 84 = AH + 21.
84. AH = 84 - 21 = 63 см.

Ответ: 63 см