10. В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках А и В, точка С выбрана на одной из дуг окружности. Найдите величину угла АСВ.

Решение:

Угол, в который вписана окружность, — это угол, вершина которого находится вне окружности, а стороны касаются окружности. Пусть вершина этого угла будет D. Тогда ∠ADB = 70°.

Точки касания окружности со сторонами угла — А и В. Центр окружности обозначим О.

Рассмотрим четырехугольник AD BO. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

Углы ∠DAO и ∠DBO равны 90°, так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным.

∠DAO + ∠DBO + ∠ADB + ∠AOB = 360°.

90° + 90° + 70° + ∠AOB = 360°.

250° + ∠AOB = 360°.

∠AOB = 360° - 250° = 110°.

Угол ∠AOB является центральным углом, опирающимся на дугу АВ.

Угол ∠ACB является вписанным углом, который также опирается на дугу АВ.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

∠ACB = ∠AOB / 2 = 110° / 2 = 55°.

Ответ: 55°