14. Точки А, В, С и D лежат на одной окружности так, что хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

Решение:

Угол ∠BDC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Следовательно, градусная мера дуги BC равна 2 * ∠BDC.

Дуга BC = 2 * 25° = 50°.

Угол ∠BAC — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу BC. Следовательно, ∠BAC = ∠BDC = 25°.

Угол ∠CAD — вписанный угол, опирающийся на дугу CD.

Угол ∠CBD — вписанный угол, опирающийся на дугу CD. Следовательно, ∠CBD = ∠CAD.

Хорды AB и CD взаимно перпендикулярны. Пусть точка их пересечения — О.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. ∠BOC = 90°.

∠OBC + ∠OCB = 90°.

∠OBC = ∠CBD.

∠OCB = ∠ACD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. ∠AOD = 90°.

∠OAD + ∠ODA = 90°.

∠OAD = ∠BAC = 25°.

∠ODA = ∠BDC = 25°.

Это противоречие. Давайте пересмотрим.

Пусть точки пересечения хорд AB и CD — точка K.

Так как AB ⊥ CD, то ∠AKC = 90°.

Угол ∠BDC = 25° вписан и опирается на дугу BC. Значит, дуга BC = 2 * 25° = 50°.

Угол ∠BAC также вписан и опирается на дугу BC. Значит, ∠BAC = 25°.

Угол ∠CAD вписан и опирается на дугу CD. Угол ∠CBD вписан и опирается на дугу CD. Значит, ∠CAD = ∠CBD.

Угол ∠ACD вписан и опирается на дугу AD. Угол ∠ABD вписан и опирается на дугу AD. Значит, ∠ACD = ∠ABD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK (угол AKC = 90°).

∠KAC + ∠KCA = 90°.

∠KAC = ∠BAC = 25°.

∠KCA = ∠ACD.

25° + ∠ACD = 90°.

∠ACD = 90° - 25° = 65°.

Ответ: 65°