12. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и ВС. Угол ОАВ равен 25°. Найдите величину угла OCD.

Решение:

Рассмотрим треугольник АОВ. Стороны ОА и ОВ являются радиусами окружности, поэтому ОА = ОВ. Следовательно, треугольник АОВ — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OBA = ∠OAB = 25°.

Угол ∠AOB — центральный угол. Сумма углов в треугольнике АОВ равна 180°.

∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (25° + 25°) = 180° - 50° = 130°.

Углы ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными, так как AD и BC — диаметры, пересекающиеся в точке О. Значит, ∠BOC = ∠AOD.

Углы ∠AOB и ∠AOD — смежные, их сумма равна 180°.

∠AOD = 180° - ∠AOB = 180° - 130° = 50°.

Следовательно, ∠BOC = 50°.

Теперь рассмотрим треугольник COD. Стороны ОС и OD являются радиусами окружности, поэтому ОС = OD. Следовательно, треугольник COD — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OCD = ∠ODC.

Угол ∠BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол ∠BDC является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу BC. Значит, ∠BDC = ∠BOC / 2.

∠BDC = 50° / 2 = 25°.

Так как ∠ODC = ∠BDC, то ∠ODC = 25°.

Поскольку треугольник COD равнобедренный и ∠ODC = 25°, то ∠OCD = 25°.

Ответ: 25°