9. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠MBA = 34°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол ∠AMB вписан в окружность и опирается на диаметр АВ. Следовательно, ∠AMB является прямым углом, то есть ∠AMB = 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMB. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

∠MAB + ∠MBA = 90°.

Нам дано ∠MBA = 34°.

∠MAB + 34° = 90°.

∠MAB = 90° - 34° = 56°.

Углы ∠MAB и ∠MNB опираются на одну и ту же дугу MB. Следовательно, ∠MNB = ∠MAB = 56°.

Угол ∠ANB вписан в окружность и опирается на диаметр АВ. Следовательно, ∠ANB является прямым углом, то есть ∠ANB = 90°.

Угол ∠ANM = ∠ANB - ∠MNB = 90° - 56° = 34°.

Угол ∠NMB и ∠NAB опираются на одну и ту же дугу NB. Следовательно, ∠NMB = ∠NAB.

Угол ∠NAB = ∠MAB - ∠MAN = 56° - ∠MAN.

Угол ∠ANM = 34°.

Рассмотрим треугольник ANM. Угол ∠NAM = 56° - ∠MAN.

Угол ∠AMN = ∠AMB - ∠NMB = 90° - ∠NMB.

Угол ∠ANM = 34°.

Углы ∠NAB и ∠NMB опираются на одну дугу NB. Значит ∠NAB = ∠NMB.

Углы ∠MNA и ∠MBA опираются на одну дугу MA. Значит ∠MNA = ∠MBA = 34°.

Угол ∠ANB = 90° (опирается на диаметр).

∠ANM + ∠MNB = ∠ANB

34° + ∠MNB = 90°

∠MNB = 90° - 34° = 56°.

Угол ∠NMB + ∠NAB = 90°.

Угол ∠NAB = ∠MAB - ∠MAN = 56° - ∠MAN.

Угол ∠ANM = 34°. Угол ∠MNA = 34°.

Углы ∠MNA и ∠MBA опираются на дугу MA. ∠MNA = ∠MBA = 34°.

Углы ∠NAB и ∠NMB опираются на дугу NB. ∠NAB = ∠NMB.

Угол ∠ANB = 90° (опирается на диаметр).

∠ANM = ∠ANB - ∠MNB.

Мы знаем, что ∠MBA = 34°.

Угол ∠MNA опирается на дугу MA. Угол ∠MBA также опирается на дугу MA. Следовательно, ∠MNA = ∠MBA = 34°.

Угол ∠ANB — вписанный угол, опирающийся на диаметр, поэтому ∠ANB = 90°.

∠ANB = ∠ANM + ∠MNB = 90°.

34° + ∠MNB = 90°.

∠MNB = 90° - 34° = 56°.

Углы ∠MAB и ∠MNB опираются на одну дугу MB. Значит ∠MAB = ∠MNB = 56°.

Углы ∠NAB и ∠NMB опираются на одну дугу NB. Значит ∠NAB = ∠NMB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMB (угол AMB = 90°).

∠MAB = 90° - ∠MBA = 90° - 34° = 56°.

Так как ∠NAB опирается на дугу NB, и ∠NMB опирается на дугу NB, то ∠NAB = ∠NMB.

∠NMB = ∠NAB.

∠NAB = ∠MAB - ∠MAN = 56° - ∠MAN.

Угол ∠ANM = 34°. Угол ∠ANB = 90°.

∠MNB = 90° - ∠ANM = 90° - 34° = 56°.

Угол ∠MAB = 56°.

Угол ∠NAB = ∠MAB - ∠MAN = 56° - ∠MAN.

Углы ∠NMB и ∠NAB опираются на одну дугу NB. Значит, ∠NMB = ∠NAB.

Угол ∠ANM = 34°.

Угол ∠MNB = 56°.

∠ANB = 90°.

∠ANM = 34°.

∠MNB = 56°.

Рассмотрим треугольник MNB. Угол ∠MNB = 56°.

Угол ∠NBM = ∠MBA = 34°.

∠NMB + ∠MNB + ∠NBM = 180°.

∠NMB + 56° + 34° = 180°.

∠NMB + 90° = 180°.

∠NMB = 90°.

Ответ: 90°