10. Внутри параллелограмма ABCD отметили точку E так, что CD = CE. Докажите, что прямая DE перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков AE и BC.

Пусть M и N — середины AE и BC соответственно. Обозначим векторы AB = u и AD = v, а A примем за начало координат. Тогда B = u, D = v, C = u + v, M = e/2, N = u + v/2.

Условие CD = CE означает |u| = |e − (u + v)|. Возведём обе части в квадрат: |e − u − v|² = |u|², откуда e·e − 2e·(u + v) + 2u·v + v·v = 0.

Для перпендикулярности DE и MN нужно, чтобы (e − v)·(u + v/2 − e/2) = 0. Раскрытие скобок и использование полученного равенства дают это произведение равным нулю.

Следовательно, DE ⟂ MN, то есть прямая DE перпендикулярна прямой, проходящей через середины AE и BC.