8. Точки K и N — середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Отрезки BN и KC пересекаются в точке O. Точки пересечения прямых AO и DO со стороной BC делят отрезок BC на три равные части. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Пусть B = 0, C = c, A = a, D = d. Тогда K = a/2 и N = (c + d)/2. Точка на BN имеет вид t(c + d)/2, а точка на KC — a/2 + s(c − a/2).

Из равенства этих выражений для точки O получаем, сравнивая коэффициенты при a, c и d: t = s, t/2 = 1 − s/2 и t/2 = s/2. Отсюда t = s = 1/2 и o = (c + d)/4 + (a/4) = (a + c + d)/4.

Обозначим точку пересечения AO с BC через U. Так как U делит BC в одной из двух внутренних точек, делящих отрезок на три равные части, пусть U = c/3 (при обратном порядке аргумент аналогичен). Условие A, O, U на одной прямой означает, что o = λa + (1 − λ)c/3 для некоторого λ. Сравнение коэффициентов в равенстве (a + c + d)/4 = λa + (1 − λ)c/3 показывает, что d = 0, что невозможно для общего четырехугольника. Поэтому указанное условие в таком виде недостаточно согласуется с конфигурацией: для точного доказательства необходимо уточнить, какие именно точки пересечения AO и DO со стороной BC и в каком порядке делят BC.

Пожалуйста, проверьте текст условия задачи 8, особенно обозначения прямых AO и DO или сторону, которую они пересекают.