3. На стороне AC треугольника ABC взята точка D так, что AD:DC = 1:2. Докажите, что медианы AX и DY треугольников ADB и CDB (соответственно) равны.

Пусть X — середина DB, а Y — середина CB. Тогда AX и DY — указанные медианы.

Поскольку AD:DC = 1:2, точка D делит AC так, что AC = 3AD. Выберем A за начало отсчёта и обозначим радиус-векторы точек через соответствующие строчные буквы. Тогда c = 3d.

Так как X и Y — середины соответствующих отрезков, x = (d + b)/2 и y = (c + b)/2. Поэтому вектор AX равен (d + b)/2, а вектор DY равен y − d = (c + b − 2d)/2 = (d + b)/2.

Векторы AX и DY равны, следовательно, равны и длины этих медиан: AX = DY.