6. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки D, E, F соответственно так, что EF ∥ AB и ED ∥ AC. Прямые DF и BC пересекаются в точке K. Оказалось, что DF = FK. Найдите отношение BE:EC.

Пусть BE:EC = r:1. Выберем координаты B = (0,0), C = (1,0), A = (u,v). Тогда E = (r/(r+1), 0).

Из ED ∥ AC следует, что точка D на AB имеет вид D = tA, а сравнение координат даёт t = 1/(r+1). Из EF ∥ AB и F ∈ CA следует, что F = (1 − t)A.

Поскольку D и F лежат на прямой DF, а K — её пересечение с BC, условие DF = FK означает, что F — середина DK: координата K равна 2F − D. У K координата y равна нулю, поэтому 2(1 − t)v − tv = 0. Так как A не лежит на BC, v ≠ 0; значит, 2 − 3t = 0 и t = 2/3.

Но t = 1/(r+1), следовательно, r + 1 = 3/2, откуда r = 1/2.

Ответ: BE:EC = 1:2.