7. Точки P, Q, R и S — середины сторон соответственно AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD, M — точка внутри этого четырехугольника, причем APMS — параллелограмм. Докажите, что CRMQ — тоже параллелограмм.

Пусть A = 0, B = b, C = c, D = d. Тогда P = b/2, Q = (b + c)/2, R = (c + d)/2, S = d/2.

Из того, что APMS — параллелограмм, следует m = p + s = (b + d)/2.

Теперь сравним противоположные стороны четырехугольника CRMQ: вектор CR = (d − c)/2, а вектор MQ = (b + c)/2 − (b + d)/2 = (c − d)/2 = −CR. Кроме того, вектор RM = (b − c)/2, а вектор CQ = (b − c)/2. Значит, противоположные стороны CRMQ попарно параллельны и равны. Следовательно, CRMQ — параллелограмм.