5. Середины E и F сторон BC и AD параллелограмма ABCD соединены с вершинами D и B соответственно. Докажите, что прямые BF и ED делят диагональ AC на три равные части.

Обозначим через P пересечение BF с AC, а через Q — пересечение ED с AC. Возьмём A за начало координат и обозначим векторы AB = b, AD = d. Тогда C = b + d, F = d/2, E = b + d/2.

Точка на AC имеет вид s(b + d). На прямой BF точка имеет вид b + t(d/2 − b). Приравнивая коэффициенты b и d, получаем 1 − t = s и t/2 = s, откуда t = 2/3 и s = 1/3. Поэтому AP = AC/3.

На прямой ED точка имеет вид E + t(D − E) = (1 − t)b + (1 − t/2)d. Для пересечения с AC коэффициенты b и d равны, поэтому 1 − t = 1 − t/2, что при таком представлении указывает на неверно выбран параметр: прямую ED удобнее записать как D + u(E − D) = (u)b + (1 − u/2)d. Равенство коэффициентов даёт u = 1 − u/2, то есть u = 2/3. Тогда точка пересечения соответствует s = 2/3, и AQ = 2AC/3.

Таким образом, точки P и Q делят AC на три равные части.