2. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон четырехугольника, разрезал его диагональю пополам. Докажите, что четырехугольник является трапецией или параллелограммом.

Пусть в четырехугольнике ABCD точки M и N — середины противоположных сторон AB и CD, а диагональ AC пересекает MN в точке P и делит MN пополам. Тогда P — середина и AC, и MN.

Диагонали четырехугольника AMCN — это AC и MN. Они пересекаются и делятся пополам, поэтому AMCN — параллелограмм. Значит, AM ∥ CN, откуда AB ∥ CD, поскольку A, M, B лежат на одной прямой, а C, N, D — на другой. Следовательно, ABCD — трапеция (в частном случае может быть параллелограммом).

Что и требовалось доказать.