4. Докажите, что середины сторон любого четырехугольника (не обязательно выпуклого) являются вершинами параллелограмма (этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона). Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, называется его средней линией. Докажите, что средние линии любого четырехугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. По теореме о средней линии треугольника ABC имеем MN ∥ AC и MN = AC/2. В треугольнике ADC имеем QP ∥ AC и QP = AC/2. Значит, MN и QP параллельны и равны. Следовательно, MNPQ — параллелограмм. Доказательство не требует выпуклости четырехугольника.

Средние линии четырехугольника — это MP и NQ: они соединяют середины противоположных сторон. В параллелограмме MNPQ это диагонали. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Значит, то же верно для средних линий исходного четырехугольника.