108. Докажите, что если А, В и С — углы треугольника, то $\sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 108. Докажите, что если А, В и С — углы треугольника, то $\sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Так как А, В и С — углы треугольника, то $ A + B + C = 180^{\circ} $.

Из этого следует, что $ A + B = 180^{\circ} - C $.

Разделим обе части на 2:

$ \frac{A+B}{2} = \frac{180^{\circ} - C}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2} $.

Теперь рассмотрим левую часть равенства:

$ \sin \frac{A+B}{2} = \sin (90^{\circ} - \frac{C}{2}) $.

Используя формулу приведения $ \sin (90^{\circ} - x) = \cos x $, получаем:

$ \sin (90^{\circ} - \frac{C}{2}) = \cos \frac{C}{2} $.

Таким образом, $ \sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2} $. Что и требовалось доказать.

108. Докажите, что если А, В и С — углы треугольника, то \(\sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2}\).