109. Докажите, что если \(\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}\), то \(\text{tg} \frac{\alpha+\beta}{2} = \text{ctg} \frac{\gamma}{2}\).

Решение:

Так как \( \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \), то \( \alpha + \beta = 180^{\circ} - \gamma \).

Разделим обе части на 2:

\( \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{180^{\circ} - \gamma}{2} = 90^{\circ} - \frac{\gamma}{2} \).

Теперь рассмотрим левую часть равенства:

\( \text{tg} \frac{\alpha+\beta}{2} = \text{tg} (90^{\circ} - \frac{\gamma}{2}) \).

Используя формулу приведения \( \text{tg} (90^{\circ} - x) = \text{ctg} x \), получаем:

\( \text{tg} (90^{\circ} - \frac{\gamma}{2}) = \text{ctg} \frac{\gamma}{2} \).

Таким образом, \( \text{tg} \frac{\alpha+\beta}{2} = \text{ctg} \frac{\gamma}{2} \). Что и требовалось доказать.