1093 Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R=2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение:

Для правильного треугольника радиус описанной окружности \( R \) и радиус вписанной окружности \( r \) связаны со стороной треугольника \( a_3 \) следующими формулами:

\( R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} \)

\( r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}} \)

Разделим \( R \) на \( r \):

\[ \frac{R}{r} = \frac{\frac{a_3}{\sqrt{3}}}{\frac{a_3}{2\sqrt{3}}} = \frac{a_3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{a_3} = 2 \]

Следовательно, \( R = 2r \).

Доказано.