1096. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

Пусть сторона каждого многоугольника равна a. Тогда: 1. Площадь правильного треугольника: (S_3 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}). 2. Площадь квадрата: (S_4 = a^2). 3. Площадь правильного шестиугольника: (S_6 = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}). Теперь найдем отношения площадей: * \(\frac{S_3}{S_4} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{a^2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\) * \(\frac{S_3}{S_6} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\) * \(\frac{S_4}{S_6} = \frac{a^2}{\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}\) Таким образом, отношения площадей: (S_3 : S_4 : S_6 = \frac{\sqrt{3}}{4} : 1 : \frac{3\sqrt{3}}{2}). Для упрощения можно умножить каждое отношение на \(\frac{4}{\sqrt{3}}\) , тогда получим: 1 : \(\frac{4}{\sqrt{3}}\) : 6, или 1 : \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) : 6. Ответ: Отношение площадей треугольника, квадрата и шестиугольника составляет 1 : \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) : 6.