1098 Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.

Решение:

Пусть \( a \) — сторона правильного треугольника, \( P \) — периметр, \( S \) — площадь.

а) Через радиус вписанной окружности \( r \):

1. Сторона \( a \):
   Для правильного треугольника радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
   Отсюда, \( a = 2r\sqrt{3} \).
2. Периметр \( P \):
   \( P = 3a = 3(2r\sqrt{3}) = 6r\sqrt{3} \).
3. Площадь \( S \):
   \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \). Подставляем \( a = 2r\sqrt{3} \):
   \[ S = \frac{(2r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4r^2 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{12r^2\sqrt{3}}{4} = 3r^2\sqrt{3} \].

б) Через радиус описанной окружности \( R \):

1. Сторона \( a \):
   Для правильного треугольника радиус описанной окружности \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
   Отсюда, \( a = R\sqrt{3} \).
2. Периметр \( P \):
   \( P = 3a = 3(R\sqrt{3}) = 3R\sqrt{3} \).
3. Площадь \( S \):
   \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \). Подставляем \( a = R\sqrt{3} \):
   \[ S = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(R^2 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \].

Ответ:

а) Через \( r \): сторона \( a = 2r\sqrt{3} \), периметр \( P = 6r\sqrt{3} \), площадь \( S = 3r^2\sqrt{3} \).

б) Через \( R \): сторона \( a = R\sqrt{3} \), периметр \( P = 3R\sqrt{3} \), площадь \( S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \).