1094 Найдите площадь S правильного n-угольника, если: а) n = 4, R = 3√2 см; б) n = 3, P = 24 см; в) n = 6, r = 9 см; г) n = 8, r = 5/3 см.

Решение:

Формула площади правильного n-угольника:

\[ S = \frac{1}{2} P r \quad \text{или} \quad S = \frac{1}{2} n a^2 \frac{1}{\tan(\frac{\pi}{n})} \quad \text{где } a \text{ - сторона многоугольника}

Также, площадь правильного n-угольника связана с радиусом описанной окружности R:

\[ S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{2\pi}{n}) \]

а) n = 4, R = 3√2 см (квадрат):

1. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности: \( S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{2\pi}{n}) \)
2. Подставляем значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot \sin(\frac{2\pi}{4}) \)
3. \( S = 2 \cdot (9 \cdot 2) \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 18 \cdot 1 = 36 \) см².

б) n = 3, P = 24 см (правильный треугольник):

1. Найдем сторону треугольника: \( a_3 = P/3 = 24/3 = 8 \) см.
2. Найдем площадь треугольника: \( S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \) см².

в) n = 6, r = 9 см (правильный шестиугольник):

1. Радиус вписанной окружности \( r \) связан со стороной \( a_6 \) шестиугольника: \( r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} \)
2. \( 9 = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} \)
3. \( a_6 = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.
4. Периметр шестиугольника \( P_6 = 6a_6 = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \) см.
5. Площадь шестиугольника: \( S = \frac{1}{2} P_6 r = \frac{1}{2} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 9 = 18\sqrt{3} \cdot 9 = 162\sqrt{3} \) см².

г) n = 8, r = 5/3 см (правильный восьмиугольник):

1. Формула площади правильного n-угольника через радиус вписанной окружности: \( S = n r^2 \tan(\frac{\pi}{n}) \)
2. Подставляем значения: \( S = 8 \cdot (\frac{5}{3})^2 \cdot \tan(\frac{\pi}{8}) \)
3. \( S = 8 \cdot \frac{25}{9} \cdot \tan(22.5^{\circ}) \)
4. Значение \( \tan(22.5^{\circ}) = \sqrt{2}-1 \).
5. \( S = \frac{200}{9} (\sqrt{2}-1) \) см².

Ответ: а) 36 см²; б) \( 16\sqrt{3} \) см²; в) \( 162\sqrt{3} \) см²; г) \( \frac{200}{9}(\sqrt{2}-1) \) см².