№ 11. ABCD — равнобедренная трапеция, AB = CD = 5, AD = 10. Диагональ BD перпендикулярна AB. Найдите углы ABD, DBC, BCD, BAD и BDC.

Треугольник ABD прямоугольный при B; его гипотенуза AD равна 10, а катет AB равен 5. Поэтому \(\sin\angle ADB=\frac{5}{10}=\frac12\), откуда \(\angle ADB=30^\circ\). Тогда \(\angle BAD=60^\circ\).

По условию \(\angle ABD=90^\circ\). Углы A и B трапеции supplementary, значит, \(\angle ABC=120^\circ\), а \(\angle DBC=120^\circ-90^\circ=30^\circ\).

В равнобедренной трапеции верхние углы равны: \(\angle BCD=120^\circ\). Угол D трапеции равен \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\), поэтому \(\angle BDC=120^\circ-\angle ADB=90^\circ\).

Ответ: ∠ABD = 90°, ∠DBC = 30°, ∠BCD = 120°, ∠BAD = 60°, ∠BDC = 90°.