№ 9. ABCD — равнобедренная трапеция, AB = CD = 7, AH = 3, BH ⟂ AD. Диагональ BD — биссектриса угла D. Найдите AD.

Так как BC ∥ AD, \(\angle BDA=\angle CBD\). По условию BD делит угол D пополам, поэтому \(\angle BDA=\angle BDC\). Следовательно, в треугольнике BCD равны углы при B и D, а значит, противоположные им стороны равны: \(BC=CD=7\).

Опустим из C перпендикуляр к AD. Прямоугольные треугольники ABH и у правого края трапеции равны: их гипотенузы AB и CD равны, а высоты между параллельными основаниями одинаковы. Поэтому горизонтальный отрезок от проекции C до D равен \(AH=3\).

Тогда \(AD=AH+BC+3=3+7+3=13\).

Ответ: AD = 13.