11. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами ещё одного квадрата.

Пусть O — центр квадрата, а две перпендикулярные прямые пересекают его стороны в точках P, Q, R, S, перечисленных по порядку вокруг квадрата.

1. Поворот на 90° вокруг O переводит квадрат в себя и одну из проведённых прямых — в другую, поскольку они проходят через O и перпендикулярны.
2. При этом поворот циклически переводит точки пересечения со сторонами: каждая из P, Q, R, S переходит в следующую. Поэтому все четыре отрезка между соседними точками равны.
3. Угол между соседними сторонами четырёхугольника равен 90°, так как при повороте на 90° соответствующие отрезки перпендикулярны.

Полученный четырёхугольник имеет четыре равные стороны и прямые углы, следовательно, это квадрат.