11. Докажите, что \(\sqrt2\) — иррациональное число.

Предположим обратное: \(\sqrt2=\frac{m}{n}\), где \(m,n\) — взаимно простые целые числа, \(n\ne0\).

Возведём равенство в квадрат: \(2=\frac{m^2}{n^2}\), значит, \(m^2=2n^2\). Следовательно, \(m^2\) чётно, поэтому и \(m\) чётно: \(m=2k\).

Подставим: \(4k^2=2n^2\), откуда \(n^2=2k^2\). Значит, \(n\) также чётно.

Получили, что и \(m\), и \(n\) делятся на 2, хотя они взаимно просты. Противоречие доказывает, что \(\sqrt2\) — иррациональное число.