11. Докажите тождество: $\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 11. Докажите тождество: $\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne1$ и $x\ne-1$. Приведём левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}$.

Упростим числитель и знаменатель:

$\frac{x(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+x-x+1}{x^2-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$.

Получили правую часть равенства, следовательно, тождество доказано при $x\ne\pm1$.

11. Докажите тождество: \(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}\).