11. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Найти углы трапеции.

Обозначим основания трапеции через a и b, где a — меньшее основание, а боковые стороны равны a. Расположим равнобедренную трапецию симметрично: нижнее основание длины b, верхнее — a. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна (b − a)/2, а высота — h.

Перпендикулярность диагонали боковой стороне дает условие h² = b(b − a)/2. Из равенства длины боковой стороны меньшему основанию следует h² + ((b − a)/2)² = a².

Положим t = (b − a)/(2a), где 0 < t < 1. Тогда первое равенство дает h² = abt, а второе — h² = a²(1 − t²). Поскольку b = a(1 + 2t), получаем t(1 + 2t) = 1 − t², то есть 3t² + t − 1 = 0. Положительный корень: t = (√13 − 1)/6.

Тангенс острого угла трапеции равен h/((b − a)/2), поэтому его квадрат равен (1 − t²)/t² = 2 + 1/t = (5 + √13)/2. Значит, острый угол равен arctan √((5 + √13)/2) ≈ 59.1°, а тупой угол дополнительный к нему.

Ответ: примерно 59.1°, 59.1°, 120.9° и 120.9°.