12. В трапеции ABCD O — точка пересечения диагоналей (рис. 31). Отрезки OA и OD равны. Доказать, что AB = CD.

Так как AD ∥ BC, треугольники AOD и BOC подобны: вертикальные углы при O равны, а углы при A и C равны как накрест лежащие. Из подобия следует OA/OD = OC/OB. По условию OA = OD, поэтому OC = OB.

Треугольники AOB и DOC равны по двум сторонам и углу между ними: OA = OD, OB = OC, а углы AOB и DOC вертикальные. Следовательно, соответствующие боковые стороны равны: AB = CD.

Что и требовалось доказать.