11. Найдите наибольшее значение функции \( y = 6\sin x - 3\sqrt{3}x + 0,5\sqrt{3} \pi + 6 \) на отрезке [0; \(\frac{\pi}{2}\)].

Решение:

Найдем производную функции:

\[ y' = (6\sin x - 3\sqrt{3}x + 0,5\sqrt{3}\pi + 6)' \]

\[ y' = 6\cos x - 3\sqrt{3} \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 6\cos x - 3\sqrt{3} = 0 \]

\[ 6\cos x = 3\sqrt{3} \]

\[ \cos x = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

На отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \) косинус равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{6} \).

Теперь вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• \( y(0) = 6\sin 0 - 3\sqrt{3}(0) + 0,5\sqrt{3}\pi + 6 = 0 - 0 + 0,5\sqrt{3}\pi + 6 = 0,5\sqrt{3}\pi + 6 \)
• \( y(\frac{\pi}{6}) = 6\sin \frac{\pi}{6} - 3\sqrt{3}(\frac{\pi}{6}) + 0,5\sqrt{3}\pi + 6 = 6(\frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{3}\pi}{2} + 0,5\sqrt{3}\pi + 6 = 3 - \frac{\sqrt{3}\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{2} + 6 = 9 \)
• \( y(\frac{\pi}{2}) = 6\sin \frac{\pi}{2} - 3\sqrt{3}(\frac{\pi}{2}) + 0,5\sqrt{3}\pi + 6 = 6(1) - \frac{3\sqrt{3}\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{2} + 6 = 12 - \frac{2\sqrt{3}\pi}{2} = 12 - \sqrt{3}\pi \)

Сравним значения:

\( 0,5\sqrt{3}\pi + 6 \approx 0,5 \cdot 1,732 \cdot 3,14 + 6 \approx 2,71 + 6 = 8,71 \)

\( 12 - \sqrt{3}\pi \approx 12 - 1,732 \cdot 3,14 \approx 12 - 5,44 = 6,56 \)

Наибольшее значение равно 9.

Ответ: 9.