5. Найдите корень уравнения \( \log_{0,9}(5 + 3x) = \log_{0,9}2 \).

Решение:

Поскольку основания логарифмов одинаковы (0,9), мы можем приравнять аргументы логарифмов:

\[ 5 + 3x = 2 \]

Вычтем 5 из обеих частей:

\[ 3x = 2 - 5 \]

\[ 3x = -3 \]

Разделим обе части на 3:

\[ x = \frac{-3}{3} \]

\[ x = -1 \]

Проверим условие существования логарифма: \( 5 + 3(-1) = 5 - 3 = 2 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: -1.