15. Решите уравнение \( 3^x + 3^{3-x} = 4 \).

Решение:

Заметим, что \( 3^{3-x} = 3^3 · 3^{-x} = 27 · \frac{1}{3^x} = \frac{27}{3^x} \).

Пусть \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y + \frac{27}{y} = 4 \]

Умножим обе части на \( y \) (при этом \( y = 3^x \) всегда больше 0):

\[ y^2 + 27 = 4y \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ y^2 - 4y + 27 = 0 \]

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 16 - 108 = -92 \]

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), квадратное уравнение \( y^2 - 4y + 27 = 0 \) не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение \( 3^x + 3^{3-x} = 4 \) также не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.