7. Решите неравенство \(\frac{x-5}{x-9} < 0\).

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{x-5}{x-9} < 0 \) найдём корни числителя и знаменателя.

• Корень числителя: \( x - 5 = 0 → x = 5 \).
• Корень знаменателя: \( x - 9 = 0 → x = 9 \).

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-∞, 5) \), \( (5, 9) \), \( (9, +∞) \).

Проверим знак выражения \( \frac{x-5}{x-9} \) в каждом интервале:

• При \( x < 5 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{0-5}{0-9} = \frac{-5}{-9} = \frac{5}{9} > 0 \).
• При \( 5 < x < 9 \) (например, \( x = 6 \)): \( \frac{6-5}{6-9} = \frac{1}{-3} < 0 \).
• При \( x > 9 \) (например, \( x = 10 \)): \( \frac{10-5}{10-9} = \frac{5}{1} = 5 > 0 \).

Нам нужен интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: \( (5, 9) \).